Даниил Чайка родился в Москве, является выпускником СДЮШОР ЦСКА имени Валерия Харламова. В 2017 году переехал в Канаду, где выступал за юниорские команды.
В 2020 году в составе ЦСКА дебютировал в КХЛ. С 2022 года защитник выступал в системе «Вегаса» за «Хендерсон Силвер Найтс» и провёл в АХЛ 126 матчей, набрав 16 очков (3+13). Также Даниил вызывался в состав сборной России на Кубок Карьяла-2020, где забросил шайбу в первой же игре и вместе с командой завоевал первое место.
С 2024 года Чайка выступал в системе омского «Авангарда». За «Омские Крылья» в ВХЛ он сыграл 56 матчей и набрал восемь (2+6) очков. За «Авангард» игрок провёл 25 матчей (12 из них в плей-офф) и отметился результативной передачей. Всего в КХЛ на счету защитника 43 матча и 3 очка (1+2).
Условия контракта не разглашаются. Ожидается, что Чайка присоединится к команде в ближайшее время. Предполагается, что Даниил должен усилить хромающую защиту новосибирцев, но в нынешнем сезоне 23-летний защитник провел семь матчей в составе «Авангарда», где не заработал ни одного очка.